Cho tam giác \(SAB\) vuông tại \(A,\,\,\angle ABS = {60^0}\). Phân giác của góc \(\angle ABS\) cắt\(SA\) tại \(I\). Vẽ nửa đường tròn tâm \(I\), bán kính \(IA\) (như hình vẽ). Cho...

* Hướng dẫn giải

Quay miền tam giác \(SAB\) quanh cạnh \(SA\) ta được khối nón có chiều cao \(h = SA\), bán kính đáy \(R = AB\).

\( \Rightarrow {V_1} = \dfrac{1}{3}\pi .A{B^2}.SA\)

Quay nửa hình tròn quanh cạnh \(SA\) ta được khối cầu có bán kính \(IA\).

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: \(\dfrac{{IA}}{{IS}} = \dfrac{{AB}}{{SB}} = \cos {60^0} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow IA = \dfrac{1}{2}IS \Rightarrow IA = \dfrac{1}{3}SA\)

\( \Rightarrow {V_2} = \dfrac{4}{3}\pi .I{A^3} = \dfrac{4}{3}\pi \dfrac{{S{A^3}}}{{27}} = \dfrac{{4\pi S{A^3}}}{{81}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}\pi .A{B^2}.SA}}{{\dfrac{{4\pi S{A^3}}}{{81}}}} = \dfrac{{27}}{4}.\dfrac{{A{B^2}}}{{S{A^2}}} = \dfrac{{27}}{4}{\left( {\dfrac{{AB}}{{SA}}} \right)^2} = \dfrac{{27}}{4}{\left( {\cot {{60}^0}} \right)^2} = \dfrac{{27}}{4}{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \dfrac{9}{4}\).

Chọn D.