Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2m{x^2} + 4 - 2{m^2}\). Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m \in \left( { - 10;10} \right)\) để hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right...

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2m{x^2} + 4 - 2{m^2}\) có \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\)

TH1: \(m \le 0 \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 1 cực trị.

\( \Rightarrow \) Để hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có đúng 3 cực trị thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow f\left( 0 \right) < 0 \Leftrightarrow 4 - 2{m^2} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \sqrt 2 \\m <  - \sqrt 2 \end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow m <  - \sqrt 2 \)

TH2: \(m > 0 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt m \\x =  - \sqrt m \end{array} \right. \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 3 cực trị.

BBT:

Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có đúng 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình \(f\left( x \right) = 0\) vô nghiệm

\( \Rightarrow f\left( {\sqrt m } \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2{m^2} + 4 - 2{m^2} > 0 \Leftrightarrow  - 3{m^2} + 4 > 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} < m < \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow 0 < m < \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \left( { - 10; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {0;\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 9; - 8;...; - 2;1} \right\}\).

Vậy có 9 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.