Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;\pi } \right]\). Biết \(f\left( 0 \right) = 2e\) và \(f\left( x \right)\) luôn thỏa mãn đẳng thức \(f'\left( x...

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) + \sin xf\left( x \right) = \cos x{e^{\cos x}}\,\,\forall x \in \left[ {0;\pi } \right]\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right){e^{ - \cos x}} + \sin xf\left( x \right){e^{ - \cos x}} = \cos x\\ \Leftrightarrow \left[ {f\left( x \right){e^{ - \cos x}}} \right]' = \cos x\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^x {\left[ {f\left( x \right){e^{ - \cos x}}} \right]'dx}  = \int\limits_0^x {\cos xdx} \\ \Leftrightarrow \left. {f\left( x \right){e^{ - \cos x}}} \right|_0^x = \left. {\sin x} \right|_0^x\\ \Leftrightarrow f\left( x \right){e^{ - \cos x}} - f\left( 0 \right).{e^{ - 1}} = \sin x\\ \Leftrightarrow f\left( x \right){e^{ - \cos x}} - 2e.{e^{ - 1}} = \sin x\\ \Leftrightarrow f\left( x \right){e^{ - \cos x}} = \sin x + 2\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {\sin x + 2} \right){e^{\cos x}}\end{array}\)

Khi đó ta có \(I = \int\limits_0^\pi  {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^\pi  {\left( {\sin x + 2} \right){e^{\cos x}}dx}  \approx 10,31\).

Chọn C.