Cho \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{9^x} + 3m}}{{{9^x} + 3}}dx} = {m^2} - 1\) . Tính tổng tất cả các giá trị của tham số \(m.\)

* Hướng dẫn giải

Ta có \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{9^x} + 3m}}{{{9^x} + 3}}dx}  = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\left( {{9^x} + 3} \right) - 3 + 3m}}{{{9^x} + 3}}dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {1 + \dfrac{{3\left( {m - 1} \right)}}{{{9^x} + 3}}} \right)dx} \)

\( = \left. x \right|_0^1 + 3\left( {m - 1} \right)\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{9^x} + 3}}dx}  = 1 + 3\left( {m - 1} \right)\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{9^x} + 3}}dx} \)

Ta tính \(J = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{9^x} + 3}}dx} \)

Đặt \({9^x} + 3 = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{9^x}.\ln 9dx = dt\\{9^x} = t - 3\end{array} \right. \Rightarrow dx = \dfrac{1}{{\ln 9}}.\dfrac{{dt}}{{\left( {t - 3} \right)}}\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 4\\x = 1 \Rightarrow t = 12\end{array} \right.\)

Khi đó \(J = \int\limits_4^{12} {\dfrac{1}{t}.\dfrac{1}{{\ln 9}}.\dfrac{1}{{\left( {t - 3} \right)}}dt = } \dfrac{1}{{\ln 9}}\int\limits_4^{12} {\dfrac{1}{t}.\dfrac{1}{{\left( {t - 3} \right)}}dt}  = \dfrac{1}{{3\ln 9}}\int\limits_4^{12} {\left( {\dfrac{1}{{t - 3}} - \dfrac{1}{t}} \right)dt} \)

\( = \dfrac{1}{{3\ln 9}}\left. {\ln \left| {\dfrac{{t - 3}}{t}} \right|} \right|_4^{12} = \dfrac{1}{{3\ln 9}}\left( {\ln \dfrac{3}{4} - \ln \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{1}{{3.2\ln 3}}.\ln 3 = \dfrac{1}{6}\)

Suy ra \(I = 1 + 3\left( {m - 1} \right).\dfrac{1}{6} = 1 + \dfrac{{m - 1}}{2}\).

Theo đề bài ta có \(1 + \dfrac{{m - 1}}{2} = {m^2} \Leftrightarrow 2{m^2} - m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Tổng các giá trị của \(m\) là \(1 + \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}.\)

Chọn B.