Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 4m + 5} \right)x + 2019\) và \(g\left( x \right) = \left( {{m^2} + 2m + 5}...

* Hướng dẫn giải

Xét phương trình \(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^3} - \left( {2{m^2} + 4m + 9} \right){x^2} - 3x + 2 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^3} - \left( {2{m^2} + 4m + 10} \right){x^2} + {x^2} - 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left[ {\left( {{m^2} + 2m + 5} \right)x - 2\left( {{m^2} + 2m + 5} \right)} \right] + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^2}\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^2} + x - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^2} + x - 1 = 0\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét phương trình (*): vì \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 5 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 4 > 0\\ac =  - \left( {{m^2} + 2m + 5} \right) < 0;\,\forall m\\\left( {{m^2} + 2m + 5} \right){.2^2} + 2 - 1 = 4{m^2} + 8m + 21 > 0\end{array} \right.\)  nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \(u;v \ne 2\).

Hay \(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = u\\x = v\end{array} \right.\)

+ Lại có \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 4m + 5} \right)x + 2019\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3{m^2} + 4m + 5 = {\left( {x - \left( {m + 1} \right)} \right)^2} + 2{m^2} + 2m + 3 > 0;\,\forall m\)  nên hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Từ đó \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) = u\,\,\,\,\left( 2 \right)\\f\left( x \right) = v\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Vì \(f\left( x \right)\) là hàm đồng biến nên mỗi phương trình \(\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\) đều chỉ có 1 nghiệm duy nhất và ba nghiệm của phương trình này khác nhau.

Từ đó phương trình \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

Chọn C.