Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) và hai điểm \(A\left( { - 1;3;1} \right),\,B\left( {0;2; - 1} \right).\)...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = t\\z = 2 - t\end{array} \right. \Rightarrow C \in d \Rightarrow C\left( { - 1 + 2t;\,\,t;\,\,2 - t} \right).\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1; - 2} \right);\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {2t - 1;\,t - 2;\,3 - t} \right).\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {3t - 7;\, - 3t - 1;\,3t - 3} \right)\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} } \right]} \right| = 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3t - 7} \right)}^2} + {{\left( {3t + 1} \right)}^2} + {{\left( {3t - 3} \right)}^2}}  = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 27{t^2} - 54t + 59 = 32\\ \Leftrightarrow 27{t^2} - 54t + 27 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\ \Rightarrow C\left( {1;\,1;\,1} \right) \Rightarrow m = n = p = 1 \Rightarrow m + n + p = 3.\end{array}\)

Chọn  C.