Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) được cho như hình vẽ bên. Hàm số\(y = \left| {f\left( x \right) + \frac{1}{2}{x^2} - f\left( 0 \right)}...

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{2}{x^2} - f\left( 0 \right)\) có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + x = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) =  - x\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - x\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Khi đó ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có 1 nghiệm đơn \(x = 2 \in \left( { - 2;3} \right) \Rightarrow \) Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 1 cực trị thuộc \(\left( { - 2;3} \right)\).

Xét \(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - \frac{1}{2}{x^2} + f\left( 0 \right)\).

Ta có \( - \frac{{{x^2}}}{2} + f\left( 0 \right) \le f\left( 0 \right)\,\,\forall x \in \left( { - 2;3} \right)\).

BBT hàm số \(y = f\left( x \right)\):

Ta so sánh \(f\left( 0 \right)\) và \(f\left( 3 \right)\).

Ta có \(\int\limits_0^b { - f'\left( x \right)dx}  > \int\limits_b^3 {f'\left( x \right)dx}  \Leftrightarrow f\left( 0 \right) - f\left( b \right) > f\left( 3 \right) - f\left( b \right) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) > f\left( 3 \right)\)

So sánh \(f\left( 0 \right)\) và \(f\left( { - 2} \right)\). Ta có :

\(\int\limits_{ - 2}^a {f'\left( x \right)dx}  < \int\limits_a^0 { - f'\left( x \right)dx}  \Leftrightarrow f\left( a \right) - f\left( { - 2} \right) < f\left( a \right) - f\left( 0 \right) \Leftrightarrow f\left( { - 2} \right) > f\left( 0 \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2}}}{2} + f\left( 0 \right)\) có tối đa  nghiệm thuộc \(\left( { - 2;3} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có tối đa 2 nghiệm \( \Rightarrow \) Hàm số \(y = \left| {g\left( x \right)} \right|\) có tối đa \(1 + 2 = 3\) cực trị.

Chọn D.