Trong không gian \(Oxyz,\) cho \(\overrightarrow a = \left( {1; - 1;0} \right)\) và hai điểm \(A\left( { - 4;\,7;\,3} \right),\,B\left( {4;\,4;\,5} \right).\) Giả sử \(M,\,N\) là...

* Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng với \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {k; - k;0} \right)\,\,\left( {k > 0} \right) \Rightarrow M{N^2} = 2{k^2} = 50 \Leftrightarrow k = 5\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {5; - 5;0} \right)\)

Lấy \(A'\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {MN}  = \left( {5; - 5;0} \right) \Rightarrow A'\left( {1;2;3} \right)\) .

Vì \(AA'NM\) là hình bình hành \( \Rightarrow AM = A'N\).

Ta có: \(\left| {AM - BN} \right| = \left| {A'N - BN} \right| \le A'N = \sqrt {17} \).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow N = A'B \cap \left( {Oxy} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {A'B}  = \left( {3;2;2} \right) \Rightarrow \) Phương trình \(A'B:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) .

\(N \in A'B \Leftrightarrow N\left( {1 + 3t;2 + 2t;3 + 2t} \right)\)

\(N \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow 3 + 2t = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{3}{2}\).

Khi đó \(N\left( { - \frac{7}{2}; - 1;0} \right);\,\,M\left( { - \frac{{17}}{2};4;0} \right)\).

Chọn A.