Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( { - 1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;0;2} \right)\), \(C\left( {0; - 3;0} \right)\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \...

* Hướng dẫn giải

Tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc.

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(OC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OA\\OC \bot OB\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot \left( {OAB} \right)\).

Qua \(M\) dựng đường thẳng song song với OC, qua \(N\) dựng đường thẳng song song với \(OM\). Hai đường thẳng này cắt nhau tại \(I\).

\(\Delta OAB\) vuông tại \(O \Rightarrow M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OAB \Rightarrow IO = IA = IB\).

\(I \in IN \Rightarrow IO = IC \Rightarrow IO = IA = IB = IC \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(O.ABC\).

Ta có: \(OA = 1,\,\,OB = 2,\,\,OC = 3\)\( \Rightarrow OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

\(R = OI = \sqrt {I{M^2} + O{M^2}}  = \sqrt {\frac{9}{4} + \frac{5}{4}}  = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).

Chọn D.