Gọi \({x_0}\) là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sau \(3si{n^2}x + 2\sin x\cos x - co{s^2}x = 0\).

* Hướng dẫn giải

Phương trình: \(3{\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x - co{s^2}x = 0\,\,\,\left( * \right)\)

\( + )\,\,\,cosx = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\) không phải là nghiệm của phương trình (*)

\( + )\,\,cos\,x \ne 0\). Ta có:

\(\begin{array}{l}3{\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x - co{s^2}x = 0 \Leftrightarrow 3\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 3.{\tan ^2}x + 2\tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan \,x =  - 1\\\tan \,x = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\\x = acr\tan \frac{1}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\end{array}\)

Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là \(x = \arctan \frac{1}{3} \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Chọn C.