Cho tứ diện ABCD có \(AB=AC=AD= a,\) \(\widehat {BAC} = {60^0},\) \(\widehat {CAD} = {60^0},\) \(\widehat {DAB} = {90^0}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) là:

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\angle BAC = \angle CAD = {60^0},\,\,AB = AC = AD = A\)

\( \Rightarrow \Delta ABC,\,\,\,\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow BC = CD = a.\)

Có \(\angle BAD = {90^0} \Rightarrow BD = \sqrt {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2}}  = a\sqrt 2 .\)

\( \Rightarrow \Delta BCD\) vuông cân tại \(C.\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BD.\) Kẻ \(KH \bot AC.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CH \bot BD\\AH \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {CAH} \right) \Rightarrow BD \bot KH\)

\( \Rightarrow d\left( {AC,\,BD} \right) = KH.\)

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) có đường cao \(KH\) ta có:

\(KH = \frac{{HC.AH}}{{\sqrt {H{C^2} + H{A^2}} }} = \frac{{\frac{1}{4}B{D^2}}}{{\sqrt {\frac{1}{4}B{D^2} + \frac{1}{4}B{D^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}BD = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.a\sqrt 2  = \frac{a}{2}.\)

Chọn B.