Cho biết một cái phễu gồm một phần có dạng hình trụ, bán kính đáy bằng \(R\) và phần còn lại có dạng hình nón, chiều cao b�

* Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Pytago ta tính được \(SA = SB = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}}  = \sqrt {4{R^2} + {R^2}}  = R\sqrt 5 \).

Ta có \({S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}SO.AB = \frac{1}{2}.2R.2R = 2{R^2}\)

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{SA + SB + AB}}{2} = \frac{{R\sqrt 5  + R\sqrt 5  + 2R}}{2} = R\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\)

Do khối cầu nằm vừa khít trong hình nón nên bán kính cầu chính bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(SAB\).

\( \Rightarrow r = \frac{{{S_{\Delta SAB}}}}{p} = \frac{{2{R^2}}}{{R\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}} = \frac{{2R}}{{\sqrt 5  + 1}}\).

\( \Rightarrow \) Thể tích khối cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{{8{R^3}}}{{{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^3}}}\)

Thể tích khối cầu chính bằng thể tích phần nước dâng lên trong hình trụ có bán kính đáy R.

Gọi \(h\) là chiều cao cột nước dâng lên ta có \(V = \pi {R^2}h = \frac{4}{3}\pi \frac{{8{R^3}}}{{{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^3}}} \Leftrightarrow h = \frac{{32R}}{{3{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^3}}}\).

Chọn A