Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3mx + 2 = 0\) có nghiệm duy nhất.

* Hướng dẫn giải

Xét phương trình \({x^3} - 3mx + 2 = 0\,\left( * \right)\) .

Nhận thấy \(x = 0\) không là nghiệm của \(\left( * \right)\) nên ta xét \(x \ne 0.\)

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^3} + 2 = 3mx \Rightarrow \dfrac{{{x^3}}}{x} + \dfrac{2}{x} = 3m \Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{2}{x} = 3m\)

Xét hàm số \(y = {x^2} + \dfrac{2}{x}\,\left( {x \ne 0} \right) \Rightarrow y' = 2x - \dfrac{2}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow {x^3} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y\left( 1 \right) = 3\)

Ta có BBT:

Từ BBT ta thấy để phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì đường thẳng \(y = 3m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^2} + \dfrac{2}{x}\) tại một điểm duy nhất nên \(3m < 3 \Leftrightarrow m < 1.\)

Chọn A