Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có độ dài cạnh đáy bằng \(2\), điểm \(M\) thuộc cạnh \(SA\) sao cho \(SA = 4SM\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {MBC} \right)\). Thể tích \(...

* Hướng dẫn giải

Gọi độ dài cạnh bên của hình chóp đều \(S.ABC\) là \(SA = SB = SC = 4x\left( {x > 0} \right)\) khi đó vì \(SA = 4SM \Rightarrow SM = x;AM = 3x.\)

Gọi \(D\) là trung điểm \(BC\) suy ra \(AD = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \) (đường trung tuyến trong tam giác \(ABC\) đều cạnh \(2\)) và \(DC = \dfrac{{CB}}{2} = 1.\)

Vì \(SA \bot \left( {MBC} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot MC\\SA \bot MD\end{array} \right.\)

Xét tam giác \(AMD\) vuông tại \(M\), ta có \(M{D^2} = A{D^2} - A{M^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {3x} \right)^2} = 3 - 9{x^2}\)

Xét tam giác \(SBC\) cân tại \(S \Rightarrow SD \bot BC\) nên theo định lý Pytago cho tam giác vuông \(SDC\) ta có \(S{D^2} = S{C^2} - C{D^2} = {\left( {4x} \right)^2} - {1^2} = 16{x^2} - 1\)

Xét tam giác \(SMD\) vuông tại \(M\) có

\(S{D^2} = M{D^2} + M{S^2} \Leftrightarrow 16{x^2} - 1 = 3 - 9{x^2} + {x^2} \Leftrightarrow 24{x^2} = 4 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Suy ra \(SM = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }};M{D^2} = 3 - 9.\dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow MD = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\)

Ta có \(SA \bot BC;AD \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot MD\)  nên \({S_{\Delta MBC}} = \dfrac{1}{2}.MD.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}.2 = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\)

\({V_{S.MBC}} = \dfrac{1}{3}.SM.{S_{\Delta MBC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{{\sqrt 6 }}.\dfrac{{\sqrt 6 }}{2} = \dfrac{1}{6}.\)

Ta có \(\dfrac{{{V_{S.MBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SB}}{{SB}}.\dfrac{{SC}}{{SC}} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow {V_{S.ABC}} = 4V = 4.\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}.\)

Chọn A