Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2\)và cạnh bên bằng \(2\sqrt 2 \). Gọi \(\alpha \)là góc của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\...

* Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Do \(\left\{ \begin{array}{l}OB \bot AC\\OB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow OB \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \) Hình chiếu vuông góc của tam giác SAB lên (SAC) là tam giác SAO

Khi đó, \(\cos \alpha  = \cos \left( {\widehat {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)}} \right) = \dfrac{{{S_{SAO}}}}{{{S_{SAB}}}}\)

Ta có:

\(\Delta SOA\) vuông tại O :

\({S_{SAB}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

\( = \sqrt {\dfrac{{2 + 2\sqrt 2  + 2\sqrt 2 }}{2}.\left( {\dfrac{{2 + 2\sqrt 2  + 2\sqrt 2 }}{2} - 2} \right)\left( {\dfrac{{2 + 2\sqrt 2  + 2\sqrt 2 }}{2} - 2\sqrt 2 } \right)\left( {\dfrac{{2 + 2\sqrt 2  + 2\sqrt 2 }}{2} - 2\sqrt 2 } \right)} \)

\( = \sqrt {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right).\left( {2\sqrt 2  - 1} \right).1.1}  = \sqrt 7 \)

\( \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{{S_{SAO}}}}{{{S_{SAB}}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\).

Chọn: C