Đối với hàm số \(y = \ln \frac{1}{{x + 1}}\), khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(y = \ln \frac{1}{{x + 1}} = \ln 1 - \ln \left( {x + 1} \right) =  - \ln \left( {x + 1} \right)\)

Suy ra \(y' = \left[ { - \ln \left( {x + 1} \right)} \right]' =  - \frac{{\left( {x + 1} \right)'}}{{x + 1}} =  - \frac{1}{{x + 1}}\)

Do đó \(xy' - 1 = x.\left( { - \frac{1}{{x + 1}}} \right) - 1 = \frac{{ - x - \left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} = \frac{{ - 2x - 1}}{{x + 1}}\).

\(xy' + 1 = x.\left( { - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + 1 = \frac{{ - x + \left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} = \frac{1}{{x + 1}}\).

\({e^y} = {e^{ - \ln \left( {x + 1} \right)}} = {e^{\ln \frac{1}{{x + 1}}}} = \frac{1}{{x + 1}} = xy' + 1\).

Vậy \(xy' + 1 = {e^y}\).

Chọn D.