Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) sao cho \(f'\left( x \right) 0.\) Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng?

* Hướng dẫn giải

Vì \(f'\left( x \right) < 0;\,\forall x > 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) suy ra \(f\left( 1 \right) > f\left( 2 \right) > f\left( e \right) > f\left( 3 \right) > f\left( \pi  \right) > f\left( 4 \right)\)

Khi đó

+ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( e \right) > f\left( 3 \right)\\f\left( \pi  \right) > f\left( 4 \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( e \right) + f\left( \pi  \right) > f\left( 3 \right) + f\left( 4 \right)\) nên A sai

+ \(f\left( e \right) > f\left( \pi  \right)\) nên \(f\left( e \right) - f\left( \pi  \right) > 0\) nên B sai

+ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( e \right) < f\left( 2 \right)\\f\left( \pi  \right) < f\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( e \right) + f\left( \pi  \right) < 2f\left( 2 \right)\)  nên C đúng.

+ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) > f\left( 3 \right)\\f\left( 2 \right) > f\left( 3 \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) > 2f\left( 3 \right)\)  nên D sai.

Chọn  C.