Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = 11m;BC = AD = 20m;BD = AC = 21m.\) Tính thể tích khối tứ diện \(ABCD.\)

* Hướng dẫn giải

Dựng hình hộp chữ nhật \(AMCN.PBQD\) như hình bên.  Khi đó tứ diện \(ABCD\) thỏa mãn \(AB = CD = 11m;BC = AD = 20m;BD = AC = 21m.\)

Gọi các kích thước hình hộp chữ nhật là \(m;n;p\) . Gọi \(V = {V_{AMCN.PBQD}} = m.n.p\)

Ta có: \({V_{PA{\rm{D}}B}} = {V_{MABC}} = {V_{QBC{\rm{D}}}} = {V_{NAC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}.ND.{S_{ACN}}\) \( = \frac{1}{3}.ND.\frac{1}{2}.AN.NC = \frac{1}{6}.ND.NA.NC = \frac{1}{6}m.n.p = \frac{1}{6}{V_{AMCN.PBQ{\rm{D}}}}\)

Suy ra \({V_{PA{\rm{D}}B}} + {V_{MABC}} + {V_{QBC{\rm{D}}}} + {V_{NAC{\rm{D}}}} = \frac{1}{6}V + \frac{1}{6}V + \frac{1}{6}V + \frac{1}{6}V = \frac{2}{3}V\)  mà \({V_{PA{\rm{D}}B}} + {V_{MABC}} + {V_{QBC{\rm{D}}}} + {V_{NAC{\rm{D}}}} + {V_{ABCD}} = V\)

Suy ra: \({V_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}V = m.n.p\)

Xét các tam giác vuông \(APB;\,APD;PDB\), theo định lý Pytago ta có

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + {n^2} = B{D^2}\\{m^2} + {p^2} = A{D^2}\\{p^2} + {n^2} = A{B^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + {n^2} = {21^2}\\{m^2} + {p^2} = {20^2}\\{p^2} + {n^2} = {11^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + {n^2} + {p^2} = 481\\{m^2} + {n^2} = {21^2}\\{m^2} + {p^2} = {20^2}\\{p^2} + {n^2} = {11^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 6\sqrt {10} \\n = 9\\p = 2\sqrt {10} \end{array} \right.\)

\({V_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}m.n.p = \frac{1}{3}.6\sqrt {10} .9.2\sqrt {10}  = 360{m^3}\)

Chọn D.