Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i + 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\).

* Hướng dẫn giải

Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) ta được:

\(\left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y + 2} \right)i} \right|\) \( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow 2x + 1 + 2y + 1 = 4y + 4 \Leftrightarrow x - y - 1 = 0\).

Do đó tập hợp các số phức \(z\) thỏa mãn bài toán là đường thẳng \(x - y - 1 = 0\).

Từ hình vẽ ta thấy \(\left| z \right|\) đạt GTNN khi \(\left| z \right| = OH = d\left( {O,\left( \Delta  \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn D.