Tìm các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 1\) có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc \(O\) tạo thành một tứ giác...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4{m^2}x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2}\end{array} \right.\).

Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là \({m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = {m^4} + 1\\x = m \Rightarrow y = 1\\x =  - m \Rightarrow y = 1\end{array} \right.\) .

Gọi \(A\left( {0;{m^4} + 1} \right);B\left( { - m;1} \right);C\left( {m;1} \right)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

Vì \(B;C\) đối xứng nhau qua trục \(Oy\) và \(O;A \in Oy\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}OB = OC\\AB = AC\end{array} \right.\).

Lại có cạnh \(OA\) chung nên \(\Delta BAO = \Delta CAO\left( {c - c - c} \right)\) suy ra \(\widehat {OBA} = \widehat {OCA}\), mà tứ giác \(OBAC\) nội tiếp nên \(\widehat {OBA} + \widehat {OCA} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {OBA} = \widehat {OCA} = 90^\circ \).

Hay \(AB \bot OB \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OB}  = 0\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - m; - {m^4}} \right);\,\overrightarrow {OB}  = \left( { - m;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OB}  = {m^2} - {m^4} = 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2}\left( {1 - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\left( L \right)\\m = 1\left( {TM} \right)\\m =  - 1\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(m =  \pm 1.\)

Chọn A.