Cho số phức \(z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} \right)^m},\) \(m\) nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị \(m \in \left[ {1;50} \right]\) để \(z\) là số thuần ảo?

* Hướng dẫn giải

Ta có \(z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} \right)^m} = {\left( {\frac{{\left( {2 + 6i} \right)\left( {3 + i} \right)}}{{\left( {3 - i} \right)\left( {3 + i} \right)}}} \right)^m} = {\left( {2i} \right)^m} = {2^m}.{i^m}\)

+ Với \(m = 4k\left( {k \in Z} \right)\)  thì \(z = {2^m}\)

+ Với \(m = 4k + 2\left( {k \in Z} \right)\) thì \(z =  - {2^m}\)

+ Với \(m = 4k + 1\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)  thì \(z = {2^m}.i\)

+ Với \(m = 4k + 3\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)  thì \(z =  - {2^m}.i\)

Vậy để \(z\) là số thuần ảo thì \(\left[ \begin{array}{l}m = 4k + 1\\m = 4k + 3\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)  mà \(1 \le m \le 50\)

Nên \(\left[ \begin{array}{l}1 \le 4k + 1 \le 50\\1 \le 4k + 3 \le 50\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le 4k \le 49\\ - 2 \le 4k \le 47\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le k \le 12,25\\ - 0,5 \le k \le 11,75\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k \in \left\{ {0;1;2;3;...;12} \right\}\\k \in \left\{ {0;1;2;...;11} \right\}\end{array} \right.\)

Vậy có tất cả \(13 + 12 = 25\) giá trị của \(k\) thỏa mãn điều kiện hay cũng có \(25\) giá trị của \(m\) thỏa mãn điều kiện đề bà.

Chọn A.