Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2,\,\,AD = 2\sqrt 3 \) và nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\). Quay \(\left( P \right)\) một vòng quanh đường thẳng \(BD\). Khối tròn xoay...

* Hướng dẫn giải

\(\Delta BCD\) vuông tại C có:

\(BD = \sqrt {{2^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 4\); \(CI = \dfrac{{BC.CD}}{{BD}} = \dfrac{{2\sqrt 3 .2}}{4} = \sqrt 3 \) ; \(IB = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 3,\,\) \(ID = 1\).

 \( \Rightarrow \,IO = OD - ID = 2 - 1 = 1\); \(\dfrac{{OM}}{{CD}} = \dfrac{{BO}}{{BC}} \Leftrightarrow \dfrac{{OM}}{2} = \dfrac{2}{{2\sqrt 3 }} \Rightarrow OM = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)

Thể tích khối nón có đỉnh B và đáy là hình tròn tâm I bán kính IC bằng thể tích khối nón có đỉnh D và đáy là hình tròn tâm J bán kính JA bằng:

\({V_1} = \dfrac{1}{3}.\pi .I{C^2}.IB = \dfrac{1}{3}.\pi .3.3 = 3\pi \)

Thể tích khối nón cụt có hai đáy là hình tròn tâm I bán kính IC, hình tròn tâm O bán kính OM bằng thể tích khối nón cụt có hai đáy là hình tròn tâm J bán kính JA, hình tròn tâm O bán kính OM bằng:

\({V_2} = \dfrac{{\pi .OI}}{3}\left( {I{C^2} + O{M^2} + IC.OM} \right) = \dfrac{{\pi .1}}{3}\left( {3 + \dfrac{4}{3} + \sqrt 3 .\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = \dfrac{{19\pi }}{3}\)

Thể tích cần tìm là: \(V = 2\left( {{V_1} + {V_2}} \right) = 2.\left( {3\pi  + \dfrac{{19\pi }}{3}} \right) = \dfrac{{56\pi }}{3}\).

Chọn: D