Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 2\,\,\left( C \right)\). Xét hai điểm \(A\left( {a;{y_A}} \right),\,\,B\left( {b,\,\,{y_B}} \right)\) phân biệt của đồ thị...

* Hướng dẫn giải

\(y = \dfrac{1}{2}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 2\,\,\left( C \right) \Rightarrow y' = \dfrac{3}{2}{x^2} - 3x\)

Do tiếp tuyến tại A và B song song nên \( \Rightarrow y'\left( a \right) = y'\left( b \right)\,\,\left( {a \ne b} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{a^2} - 3a = \dfrac{3}{2}{b^2} - 3b \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} - 2a + 2b = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow a + b = 2\,\,\left( {Do\,\,a \ne b} \right)\end{array}\)

Ta có: \(A\left( {a;\dfrac{1}{2}{a^3} - \dfrac{3}{2}{a^2} + 2} \right);\,\,B\left( {b;\dfrac{1}{2}{b^3} - \dfrac{3}{2}{b^2} + 2} \right)\),  với \(a + b = 2\).

Ta có:

\(\dfrac{{\dfrac{1}{2}{a^3} - \dfrac{3}{2}{a^2} + 2 + \dfrac{1}{2}{b^3} - \dfrac{3}{2}{b^2} + 2}}{2} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}{{\left( {a + b} \right)}^3} - \dfrac{1}{2}3ab\left( {a + b} \right) - \dfrac{3}{2}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \dfrac{3}{2}.2ab + 4}}{2} = 1\)

\( \Rightarrow I\left( {1;1} \right)\) là trung điểm của \(AB\).

Đường thẳng AB đi qua \(D\left( {5;3} \right)\) và \(I\left( {1;1} \right)\) có phương trình là:

\(\dfrac{{x - 1}}{{5 - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{3 - 1}} \Leftrightarrow x - 1 = 2y - 2 \Leftrightarrow x - 2y + 1 = 0\)

Chọn: D