Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {4; - 2;6} \right),\,\,B\left( {2;4;2} \right)\), \(M \in \left( \alpha \right):\,\,x + 2y - 3z - 7 = 0\) sao cho \(\overrightarrow {MA} ....

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right).\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right) = M{I^2} + \overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} \)

Xác định tọa độ điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow I\) là trung điểm của AB, có tọa độ là \(I\left( {3;1;4} \right)\)

Để \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \)  nhỏ nhất thì \(M{I^2}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của I lên \(\left( \alpha  \right)\)

Khi đó, đường thẳng MI nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} \left( {1;2; - 3} \right)\) làm 1 VTCP. Phương trình đường thẳng IM là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 1 + 2t\\z = 4 - 3t\end{array} \right.\)

Giả sử  \(M\left( {3 + t;1 + 2t;4 - 3t} \right)\).

Do \(M \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow \left( {3 + t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) - 3\left( {4 - 3t} \right) - 7 = 0 \Leftrightarrow 14t - 14 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {4;3;1} \right)\)

Chọn: B