Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau \(3\sqrt {5 - x} + 3\sqrt {5x - 4} = 2x + 7\)

* Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: \(\dfrac{4}{5} \le x \le 5\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,3\sqrt {5 - x}  + 3\sqrt {5x - 4}  = 2x + 7\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {5 - x}  - 6 + 3\sqrt {5x - 4}  - 3 = 2x - 2\\ \Leftrightarrow 3\left( {\sqrt {5 - x}  - 2} \right) + 3\left( {\sqrt {5x - 4}  - 1} \right) - \left( {2x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3\left( {1 - x} \right)}}{{\sqrt {5 - x}  + 2}} + \dfrac{{3\left( {5x - 5} \right)}}{{\sqrt {5x - 4}  + 1}} - \left( {2x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {5 - x}  + 2}} + \dfrac{{15\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {5x - 4}  + 1}} - 2\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - \left( {x - 1} \right)\left[ {\dfrac{3}{{\sqrt {5 - x}  + 2}} - \dfrac{{15}}{{\sqrt {5x - 4}  + 1}} + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\\dfrac{3}{{\sqrt {5 - x}  + 2}} - \dfrac{{15}}{{\sqrt {5x - 4}  + 1}} + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\dfrac{{15}}{{\sqrt {5x - 4}  + 1}} - \dfrac{3}{{\sqrt {5 - x}  + 2}} = 2\,\,(*)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{15}}{{\sqrt {5x - 4}  + 1}} - \dfrac{3}{{\sqrt {5 - x}  + 2}},\,\,x \in \left[ {\dfrac{4}{5};5} \right]\) có

\(f'\left( x \right) =  - \dfrac{{15.\dfrac{5}{{2\sqrt {5x - 4} }}}}{{{{\left( {\sqrt {5x - 4}  + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{3.\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {5 - x} }}}}{{{{\left( {\sqrt {5 - x}  + 2} \right)}^2}}} < 0,\)\(\forall x \in \left[ {\dfrac{4}{5};5} \right]\)

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {\dfrac{4}{5};5} \right)\)\( \Rightarrow \) Phương trình (*) có nhiều nhất 1 nghiệm thuộc \(\left[ {\dfrac{4}{5};5} \right]\)

Mà \(f\left( 4 \right) = 2 \Rightarrow x = 4\) là nghiệm duy nhất của (*)

Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;4} \right\}\,\,\, \Rightarrow \) Tổng các nghiệm của phương trình là: 5.

Chọn: A