Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm là \(f'(x)=12 x^2+2, \forall x \in \mathbb{R}\) và f(1)=3. Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(0)=2, khi đó F(1) bằng

* Hướng dẫn giải

Ta có \(f(x)=\displaystyle\int f'(x) {\rm d} x=\displaystyle\int\left(12 x^2+2\right) {\rm d} x=4 x^3+2 x+C\).

Với \(f(1)=3 \Rightarrow 4.1^3+2.1+C=3 \Rightarrow C=-3\). Vậy \(f(x)=4 x^3+2 x-3\). Ta có \(F(x)=\displaystyle\int f(x) {\rm d} x=\displaystyle\int\left(4 x^3+2 x-3\right) {\rm d} x=x^4+x^2-3 x+C\).

Với \(F(0)=2 \Rightarrow 0^4+0^2-3.0+C=2 \Rightarrow C=2\). Vậy \(F(x)=x^4+x^2-3 x+2\), khi đó \(F(1)=1^4+1^2-3.1+2=1\).