Cho khối chóp đều S.ABCD có AC=4a, hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với nhau. Thể tích khối chóp đã cho bằng

* Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm hình vuông suy ra \(S O \perp(A B C D)\). Ta có \((SAB) \cap(SCD)=S x\parallel AB\parallel CD\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(A B\), suy ra \(S I \perp A B \Rightarrow S I \perp S x \Rightarrow S I \perp(S C D) \Rightarrow S I \perp S D\) \(A C=4 a \Rightarrow A D=2 \sqrt{2} a \Rightarrow D I=a \sqrt{10}\).

Đặt \(S D=x \Rightarrow S I=\sqrt{x^2-2 a^2}\).

Ta có hệ thức \(x^2-2 a^2+x^2=10 a^2 \Rightarrow x^2=6 a^2 \Rightarrow x=a \sqrt{6}\). Từ đó ta tính được \(S O=a \sqrt{2}\).

Vậy \(V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3} \cdot a \sqrt{2} \cdot(2 \sqrt{2} a)^2=\dfrac{8 \sqrt{2}}{3} a^3\)