Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất

* Hướng dẫn giải

$$\begin{gathered} a{\log }_3{x}^3+4\sqrt{{\log }_3{x}^8}+a+1=0 (*). Điều kiện x>0 \\ PT(*)\iff 3a{\log }_{3}x+8\sqrt{2}.\sqrt{{\log }_{3}x}+a+1=0 \left(1\right) \\ Đặt t=\sqrt{{\log }_{3}x} ( t\ge 0 ) \\ PT\left(1\right)\iff 3a{t}^2+8\sqrt{2}.t+a+1=0 \\ TH1: a=0 thì PT\left(1\right) trở thành 8\sqrt{2}.t+1=0\Rightarrow t=\frac{-1}{8\sqrt{2}}<0 \left(loại\right) \\ \Rightarrow Để PT(*) có nghiệm duy nhất thì PT\left(1\right) có nghiệm kép dương \\ \iff \left\{\begin{array}{l}∆\text{'}=0\\ \frac{-8\sqrt{2}}{3a}\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3a^2+3a+32=0\\ a<0\end{array}\right.\iff a=\frac{3-\sqrt{393}}{6}<-1 \\ chọn a<-1 \end{gathered}$$