Điểm \(M(a;b;c)\)thuộc \(\left( P \right)\)sao cho \(\left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất. Tính \(T = 2a + b - c\)

* Hướng dẫn giải

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) sao cho \(2\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {IB} \)

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( { - 3 - x;2 - y;2 - z} \right);\overrightarrow {IB}  = \left( { - 5 - x;3 - y;7 - z} \right)\)

Suy ra \(2\overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {IB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( { - 3 - x} \right) =  - 5 - x\\2\left( {2 - y} \right) = 3 - y\\2\left( {2 - z} \right) = 7 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\\z =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;1; - 3} \right)\)

Khi đó ta có \(\left| {2\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {MI}  - \overrightarrow {IB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IB} } \right|\)\( = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\)

Khi đó \(\left| {2\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất khi \(IM\) nhỏ nhất.

Nhận thấy \(I \notin \left( P \right) \Rightarrow IM\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right).\)

+ Đường thẳng \(d\) qua \(I\left( { - 1;1; - 3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1;1;1} \right)\) làm VTCP là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 + t\\z =  - 3 + t\end{array} \right.\)

+ \(M\) là giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) nên tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 + t\\z =  - 3 + t\\x + y + z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 + t\\z = 3 + t\\ - 1 + t + 1 + t - 3 + t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = 0\\y = 2\\z =  - 2\end{array} \right.\) suy ra \(M\left( {0;2; - 2} \right)\)

\(T = 2a + b - c = 2.0 + 2 - \left( { - 2} \right) = 4.\)

Chọn C