Tìm số các số phức thỏa mãn điều kiện \({z^2} + 2\overline z = 0\)

* Hướng dẫn giải

Gọi số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) thì số phức liên hợp \(\overline z  = x - yi\) và \({z^2} = {\left( {x + yi} \right)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)

Khi đó \({z^2} + 2\overline z  = 0 \Leftrightarrow {z^2} =  - 2\overline z  \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi =  - 2\left( {x - yi} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi =  - 2x + 2yi \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} =  - 2x\\2xy = 2y\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y\left( {x - 1} \right) = 0\\{x^2} - {y^2} =  - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}y = 0\\x = 1\end{array} \right.\\{x^2} - {y^2} =  - 2x\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(y = 0\) ta có \({x^2} =  - 2x \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Với \(x = 1\) ta có \({1^2} - {y^2} =  - 2.1 \Leftrightarrow {y^2} = 3 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt 3 \)

Vậy các số phức thỏa mãn là \(z = 0;z =  - 2;z = 1 + \sqrt 3 i;z = 1 - \sqrt 3 i.\)

Chọn B