Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình log2(1/2x+x)+2^(1/2x+x)=5

* Hướng dẫn giải

$$\begin{gathered} Đáp án D \\ Điều kiện: \frac{1}{2x}+x>0\iff \frac{2x^2+1}{2x}>0\iff x>0 (*) \\ Đặt t=\frac{1}{2x}+x \Rightarrow t\ge 2\sqrt{\frac{1}{2x}x}=2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2} \\ \Rightarrow PT\iff {\log }_{2}t+2^t-5=0 \left(1\right) \\ Ta có: f\left(t\right)={\log }_{2}t+2^t-5 với t\ge \sqrt{2} \\ \Rightarrow f \text{'} \left(t\right)=\frac{1}{t \ln 2}+2^t \ln 2>0 \forall t\ge \sqrt{2} \\ \Rightarrow f\left(t\right) đồng biến trên (\sqrt{2}; +\infty ) \\ PT\left(1\right) có nghiệm\iff f\left(t\right)=0 có nghiệm và nghiệm đó là duy nhất \\ Dễ thấy t=2 là nghiệm của \left(1\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{2x}+x=2\iff 2x^2+1-4x=0 \\ \iff x_1=\frac{2+\sqrt{2}}{2} và x_2=\frac{2-\sqrt{2}}{2} ( TMĐK (*\left)\right) \\ \to x_1{x}_2=\frac{1}{2} \end{gathered}$$