Gọi M, N là hai điểm di động trên đồ thị (C) của hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - x + 4\) sao cho tiế

* Hướng dẫn giải

Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right),N\left( {{x_N};{y_N}} \right)\)

Do \(M,N \in \left( C \right)\) nên \(M\left( {{x_M}; - x_M^3 + 3x_M^2 - {x_M} + 4} \right),N\left( {{x_N}, - x_N^3 + 3x_N^2 - {x_N} + 4} \right)\)

Theo giả thiết tiếp tuyến của (C) tại M và N luôn song song với nhau nên ta có:

\(\begin{array}{l}
y'\left( {{x_M}} \right) = y'\left( {{x_N}} \right) \Leftrightarrow  - 3{x_M}^2 + 6{x_M} - 1 =  - 3{x_N}^2 + 6{x_N} - 1 \Leftrightarrow  - 3{x_M}^2 + 6{x_M} + 3{x_N}^2 - 6{x_N} = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {{x_N} - {x_M}} \right)\left( {{x_N} + {x_M} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_N} - {x_M} = 0\\
{x_N} + {x_M} = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do M và N phân biệt nên  \({x_N} \ne {x_M}\) , suy ra \(x_N+x_M=2\)

Ta có 

\(\begin{array}{l}
{y_M} + {y_N} =  - \left( {{x_M}^3 + {x_N}^3} \right) + 3\left( {{x_M}^2 + {x_N}^2} \right) - \left( {{x_M} + {x_N}} \right) + 8\\
 =  - \left[ {{{\left( {{x_M} + {x_N}} \right)}^3} - 3\left( {{x_M} + {x_N}} \right){x_M}{x_N}} \right] + 3\left[ {{{\left( {{x_M} + {x_N}} \right)}^2} - 2{x_M}{x_N}} \right] - \left( {{x_M} + {x_N}} \right) + 8\\
 =  - \left[ {{2^3} - 6{x_M}{x_N}} \right] + 3\left[ {{2^2} - 2{x_M}{x_N}} \right] - 2 + 8 = 10
\end{array}\)

Từ đây suy ra đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định là trung điểm Q(1;5) của MN