Tìm tất cả các giá trị tham số \(m\) để bất phương trình \(6x + \sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {8 - x} \right)}  \le {x^2

* Hướng dẫn giải

Bất phương trình tương đương \( - {x^2} + 6x + 16 + \sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {8 - x} \right) - 15}  \le m\)

Đặt \(\sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {8 - x} \right)}  = t;x \in \left[ { - 2;8} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;5} \right]\)

Bất phương trình trở thành \({t^2} + t - 15 \le m,t \in \left[ {0;5} \right]\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t - 15 \le m,t \in \left[ {0;5} \right]\)

\(\begin{array}{l}
f'\left( t \right) = 2t + 1\\
f'\left( t \right) = 0t =  - \frac{1}{2}
\end{array}\)

Bảng biến thiên 

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để bất phương trình có nghiệm thì \(m \ge 15\)