Cho hình chóp tứ giác đều có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \(60^0\).

* Hướng dẫn giải

Gọi K là trung điểm của AB, \(AC \cap BD = O\). Góc giữa mặt bên và đáy là góc \(\widehat {SKO}\)

Gọi M là trung điểm của SA

Trong tam giác SOA dựng đường thẳng trung trực IM của SA, \(I \in SO\)

giả sử AB = b, suy ra \(OK = \frac{b}{2},OA = \frac{{b\sqrt 2 }}{2}\)

Xét \(\Delta SOK\), ta có

\(\tan {60^0} = \frac{{SO}}{{OK}} \Rightarrow SO = OK.\tan {60^0} = \frac{{b\sqrt 3 }}{2}\)

Ta có \(\Delta SMI \sim \Delta SOA\left( {g - g} \right)\) nên \(\frac{{SI}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{SO}}\)

\(SI = \frac{{SM.SA}}{{SO}} = \frac{{\frac{1}{2}S{A^2}}}{{SO}} = \frac{1}{2}\frac{{\frac{5}{4}{b^2}}}{{\frac{{b\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{12}}b\)

Theo giả thiết \(\frac{{5\sqrt 3 }}{{12}}b = a\sqrt 3  \Rightarrow b = \frac{{12}}{5}a\)