Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.ABC\) có \(AB = a,\,\,AA = 2a.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và AC

* Hướng dẫn giải

Gọi \(I = AB' \cap A'B\), M là trung điểm của BC

Ta có: \(MI//A'CA'C//\left( {AB'M} \right) \Rightarrow d\left( {A'C,AB'} \right) = d\left( {A',\left( {AB'M} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AB'M} \right)} \right) = \frac{{3{V_{BAB'M}}}}{{{S_{AB'M}}}}\)

Mà \({V_{BAB'M}} = \frac{1}{3}BB'.\frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

Tam giác AB'M có \(AB' = a\sqrt 5 ,B'M = \sqrt {B'{B^2} + B{M^2}}  = \frac{{a\sqrt {17} }}{2},AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Áp dụng định lí Hê rong ta có \({S_{AB'M}} = \frac{{{a^2}\sqrt {51} }}{8}\)

Vậy \(d\left( {A'C,B'A} \right) = d\left( {B,\left( {B'AM} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt {17} }}{{17}}\)