Cho \(a, b\) là các số thực dương thỏa mãn \(b>1\) và \(\sqrt a  \le b...

* Hướng dẫn giải

Vì b > 0 và \({\log _b}\sqrt a  \le 1 < {\log _b}a\) nên \({\log _b}\sqrt a  \le 1 < {\log _b}a\) hay \(1 < {\log _b}a \le 2\)

Khi đó \(P = {\log _{\frac{a}{b}}} + 2{\log _{\sqrt b }}\left( {\frac{a}{b}} \right) = \frac{{{{\log }_b}a}}{{{{\log }_b}a - 1}} + 4\left( {{{\log }_b}a - 1} \right) = 1 + \frac{1}{{{{\log }_b}a - 1}} + 4\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương \(\frac{1}{{{{\log }_b}a - 1}}\) và \(4\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)\) ta có:

\(\frac{1}{{{{\log }_b}a - 1}} + 4\left( {{{\log }_b}a - 1} \right) \ge 4\)

Suy ra \(P \ge 5\). Vậy min P = 5 khi \(a = b\sqrt b \)