A và B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{x - 2}}\).

* Hướng dẫn giải

Hàm số \(y = \frac{x}{{x - 2}}\) có đồ thị (C) như hình vẽ. Gọi \(A\left( {a;\frac{a}{{a - 2}}} \right);B\left( {b;\frac{b}{{b - 2}}} \right)\) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C) (a < 2 < b)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {b - a;\frac{b}{{b - 2}} - \frac{a}{{a - 2}}} \right) = \left( {b - a;\frac{{b - a}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {a - 2} \right)}}} \right)\)

Áp dụng BĐT Cô si ta có: \(\left( {b - 2} \right)\left( {a - 2} \right) \le \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{4}\)

Suy ra \(A{B^2} = {\left( {b - a} \right)^2} + \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{{{{\left[ {\left( {b - 2} \right)\left( {a - 2} \right)} \right]}^2}}} \ge {\left( {b - a} \right)^2} + \frac{{64}}{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}} \ge 16\)

\( \Rightarrow AB \ge 4\). Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a = 2 - \sqrt 2 ;b = 2 + \sqrt 2 \)

Vậy \(AB_{min}=4\)