Cho phương trình \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right).

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\begin{array}{l}
\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\
2x - \frac{\pi }{4} =  - x - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi 
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pi  + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

+ Xét \(x = \pi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Do \(0 < x < \pi  \Leftrightarrow 0 < \pi  + k2\pi  < \pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} < k < 0\). Vì \(k \in Z\) nên không có giá trị k

+ Xét \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\left( {k \in Z} \right)\)

Do \(0 < x < \pi  \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3} < \pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4}\). Vì \(k \in Z\) nên có 2 giá trị k là k = 0 và  k = 1

\(\begin{array}{l}
 + k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\\
 + k = 1 \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{6}
\end{array}\)

Do đó trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình đã cho có 2 nghiệm \(x = \frac{\pi }{6},x = \frac{{5\pi }}{6}\)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) là: \(\frac{\pi }{6} + \frac{{5\pi }}{6} = \pi \)