Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 2}}\) đi qua giao điểm hai đường tiệm cận?

* Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x =  - \frac{d}{c} =  - 2\) làm tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \( = \frac{a}{c} = 2\) làm tiệm cận ngang 

Vậy I(-2;2) là giao điểm của 2 đường tiệm cận

TXĐ: D = R\{-2}

\(y' = \frac{7}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Gọi tiếp tuyến tại \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\) của đồ thị hàm số có dạng 

\(\left[ \begin{array}{l}
\Delta :y = y'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\\
\Delta :y = \frac{7}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}.\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} + 2}}
\end{array} \right.\)

Vì \(\Delta \) đi qua \(I\left( { - 2;2} \right) \Rightarrow 2 = \frac{7}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}.\left( { - 2 - {x_0}} \right)}} + \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} + 2}}\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 2 = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}.\left( {{x_0} + 2} \right) + \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} + 2}} \Leftrightarrow 2 = \frac{{ - 7}}{{\left( {{x_0} + 2} \right)}} + \frac{{2{x_0} - 3}}{{{x_0} + 2}}\\
 \Leftrightarrow 2 = \frac{{2{x_0} - 10}}{{{x_0} + 2}}4 =  - 10\left( {VN} \right)
\end{array}\)

Vậy không tồn tại tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 2}}\) mà đi qua giao điểm của 2 tiệm cận