Hàm số \(y = {\log _2}\left( {{4^x} - {2^x} + m} \right)\) có tập xác định là R thì

* Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(4^x-2^x+m>0\)

Hàm số đã cho có tập xác định là R \( \Leftrightarrow {4^x} - {2^x} + m > 0,\forall x \in R \Leftrightarrow m >  - {4^x} + {2^x},\forall x \in R\)

Đặt \(t=2^x,(t>0)\)

Khi đó (*) trở thành \(m >  - {t^2} + t,\forall t > 0 \Leftrightarrow m > \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( t \right)\) với \(f\left( t \right) =  - {t^2} + t,t > 0\)

Ta có: \(f'\left( t \right) =  - 2t + 1,f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)

Bảng biến thiên của hàm số \(f(t)=-t^2+t,t>0\):

Từ BBT ta thấy \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) = \frac{1}{4}\) đạt được khi \(t = \frac{1}{2}\)

Vậy \(m > \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( t \right)\Leftrightarrow m > \frac{1}{4}\)