Cho hình thang vuông ABCD với đường cao \(AB=2a\) các cạnh đáy \(AD=a\) và \(BC=3a\) Gọi M là điểm trên đo�

* Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm B, điểm A thuộc trục Oy và điểm C thuộc trục Ox.

Theo bài ta có B(0;0), A(0;2), C(3;0), D(1;2)

Khi đó \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - 2} \right)\) . Phương trình tham số của đường thẳng AC là: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 3t\\
y = 2 - 2t
\end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\) 

Gọi \(M \in AC \Rightarrow M\left( {3t;2 - 2t} \right)\).  Ta có \(\overrightarrow {BM}  = \left( {3t;2 - 2t} \right),\overrightarrow {DC}  = \left( {2; - 2} \right)\) 

Để \(BM \bot DC\) thì \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {DC}  = 0 \Leftrightarrow 6t - 4 + 4t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{5} \Rightarrow M\left( {\frac{6}{5};\frac{6}{5}} \right)\) 

Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \left( {\frac{6}{5}; - \frac{4}{5}} \right) \Rightarrow AM = \frac{{\sqrt {52} }}{5},\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - 2} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {13} \) 

Vì \(\overrightarrow {AM}  = k\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AC} \) cùng chiều \(k = \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {52} }}{{5\sqrt {13} }} = \frac{2}{3}\)