Cho hình chóp S.ABC \(SA = x,BC = y,AB = AC = SB = SC = 1\). Thể tích khối chóp S.

* Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC

Dễ thấy \(BC \bot AN,BC \bot SN \Rightarrow BC \bot \left( {SAN} \right)\) . Do đó

\(\begin{array}{l}
{V_{S.ABC}} = {V_{S.ABN}} + {V_{S.ANC}} = \frac{1}{3}.{S_{SAN}}.BN + \frac{1}{3}.{S_{SAN}}.CN = \frac{1}{3}{S_{SAN}}\left( {BC + CN} \right) = \frac{1}{3}{S_{SAN}}.BC\\
MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}}  = \sqrt {A{B^2} - B{N^2} - A{M^2}}  = \sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{4}} 
\end{array}\) 

Do đó \({S_{SAN}} = \frac{1}{2}SA.MN = \frac{x}{2}\sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{4}} \) 

Do đó

\(\begin{array}{l}
{V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}xy\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{4}} \\
 \Rightarrow {V^2} = \frac{1}{{36}}{x^2}{y^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{4}} \right) = \frac{{16}}{{36}}.\frac{{{x^2}}}{4}.\frac{{{y^2}}}{4}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{4}} \right) \le \frac{4}{9}{\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}
\end{array}\) 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{{x^2}}}{4} = \frac{{{y^2}}}{4} = 1 - \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{4} \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)