Tìm số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(\frac{{C_n^0}}{{1.2}} + \frac{{C_n^1}}{{2.3}} + \frac{{C_n^2}}{{3.4}} + ...

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)C_{n + 2}^{k + 2} = \left( {k + 1} \right)\left( {n + 2} \right).C_{n + 1}^{k + 1} = \left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)C_n^k\\
 \Rightarrow \frac{{C_n^k}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{C_{n + 2}^{k + 2}}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}
\end{array}\) 

Áp dụng ta có:

\(\begin{array}{l}
VT = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\left( {C_{n + 2}^2 + C_{n + 2}^3 + ... + C_{n + 2}^{n + 2}} \right) = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\left( {C_{n + 2}^0 + C_{n + 2}^1 + ... + C_{n + 2}^{n + 2} - 1 - n - 2} \right)\\
 = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\left( {{2^{n + 2}} - n - 3} \right)\\
 \Rightarrow {2^{n + 2}} = {2^{100}} \Rightarrow n = 98
\end{array}\)