Tập tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) để phương trình \(m\left( {\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  + 3} \right)

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x \in \left[ { - 1;1} \right]\) . Đặt \(\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  = t\) , ta có

\(\begin{array}{l}
t' = \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} = \frac{{\sqrt {1 - x}  - \sqrt {1 + x} }}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} \left( {\sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x} } \right)}}\\
{t^2} = 2 + 2\sqrt {1 - {x^2}}  \Rightarrow 2\sqrt {1 - {x^2}}  = {t^2} - 2
\end{array}\) 

Do đó \(\begin{array}{l}
m\left( {\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  + 3} \right) + 2\sqrt {1 - {x^2}}  - 5 = 0\left( 1 \right)\\
 \Leftrightarrow m\left( {t + 3} \right) + {t^2} - 2 - 5 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + mt + 3m - 7 = 0\\
 \Leftrightarrow 7 - {t^2} = m\left( {t + 3} \right) \Leftrightarrow \frac{{7 - {t^2}}}{{t + 3}} = m\left( 2 \right)
\end{array}\) 

BBT

Dựa vào bảng biến thiên hàm t(x) trên, ta thấy để (1) có đúng 2 nghiệm thực phân biệt x thì (2) có đúng 1 nghiệm \(t \in \left[ {\sqrt 2 ;2} \right)\) . Nghiệm còn lại nếu có khác 2

Xét hàm \(f\left( t \right) = \frac{{7 - {t^2}}}{{t + 3}},f'\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 6t + 7}}{{{{\left( {t + 3} \right)}^2}}} < 0,\forall t > 0\) nên \(f(x)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) 

Do đó (2) có nghiệm thuộc \(\left[ {\sqrt 2 ;2} \right)\) khi và chỉ khi \(f\left( {\sqrt 2 } \right) \ge m > f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{15 - 5\sqrt 2 }}{7} \ge m > \frac{3}{5}\) 

Do đó \(a = \frac{3}{5};b = \frac{{15 - 5\sqrt 2 }}{7}\) nên \(b - \frac{5}{7}a = \frac{{12 - 5\sqrt 2 }}{7}\)