Cho hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có cạnh bằng 1.

* Hướng dẫn giải

Gọi \(u_i\) là chu vi hình vuông \({A_{2i}}{B_{2i}}{C_{2i}}{D_{2i}}\)

Dễ thấy \({A_{2i + 2}}{D_{2i + 2}} = \frac{1}{2}{A_{2i}}{D_{2i}}\), từ đó chu vi hình vuông \({A_{2i + 2}}{B_{2i + 2}}{C_{2i + 2}}{D_{2i + 2}}\) bằng 2 lần chu vi hình vuông \({A_{2i}}{B_{2i}}{C_{2i}}{D_{2i}}\) nên \({u_i} = \frac{1}{2}{u_{i + 1}}\)

Ngoài ra \({A_2}{B_2} = \sqrt 2 {A_2}{B_1} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) nên \({u_1} = 2\sqrt 2 \)

Dãy số \((u_n)\) là cấp số nhân có công bội \(\frac{1}{2}\) nên \({u_n} = {u_1}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = 2\sqrt 2 .\frac{1}{{{2^{n - 1}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{{2^{n - 2}}}}\)

Do đó chu vi hình vuông \({A_{2018}}{B_{2018}}{C_{2018}}{D_{2018}}\) bằng \({u_{1009}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{{2^{1007}}}}\)