Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\sin ^4}x + {\cos ^2}x + 3\) bằng:

* Hướng dẫn giải

TXĐ: D=R. Biến đổi \(y = 2{\sin ^4}x - {\sin ^2}x + 4\) . đặt \(t = {\sin ^2}x,0 \le t \le 1\) 

Xét hàm số: \(f(t)=2t^4-t^2+4\) liên tục trên [0;1], \(f'\left( t \right) = 8{t^3} - 2t = 2t\left( {4{t^2} - 1} \right)\) 

Trên khoảng (0;1) phương trình \(f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}\) 

Ta có \(f\left( 0 \right) = 4,f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{31}}{8},f\left( 1 \right) = 5\) 

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) = \frac{{31}}{8}\) tại \(t = \frac{1}{2} \Rightarrow \mathop {\min }\limits_R y = \frac{{31}}{8}\)  khi \({\sin ^2}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\)