Tìm tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình 4^(1+x) + 4^(1-x)

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Phương trình tương đương với

Đặt $2^x-\frac{1}{2^x}=t\to 4^x+\frac{1}{4^x}=t^2+2$. Xét hàm số $t\left(x\right)=2^x-\frac{1}{2^x}$ trên $\left[0;1\right]$.

Đạo hàm $t\text{'}\left(x\right)=2^x.\ln 2+\frac{\ln 2}{2^x}>0, \forall x\in \left[0;1\right]\Rightarrow$ Hàm số $t\left(x\right)$ luôn đồng biến trên $\left[0;1\right]$. Suy ra $\underset{x\in \left[0;1\right]}{\min }t\left(x\right)=t\left(0\right)=0$ và $\underset{x\in \left[0;1\right]}{\max }t\left(x\right)=t\left(1\right)=\frac{3}{2}$. Như vậy $t\in \left[0;\frac{3}{2}\right]$.

Phương trình (1) có dạng:

Phương trình (1) có nghiệm $t\in \left[0;1\right]\iff$ phương trình ẩn t có nghiệm $t\in \left[0;\frac{3}{2}\right]$$\iff 0\le m-1\le \frac{3}{2}\iff 1\le m\le \frac{5}{2}$. Mà $m\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ nên $m\in \left\{1;2\right\}$ . Tổng tất cả các giá trị nguyên của m bằng 3.