Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 5^(x+2y)

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Từ giả thiết, suy ra

Xét hàm số $f\left(t\right)=5^t-\frac{1}{3^t}+t$ trên $\mathrm{ℝ}$.

Đạo hàm $f\text{'}\left(t\right)=5^t.\ln 5+\frac{\ln 3}{3^t}+1>0, \forall t\in \mathrm{ℝ}\Rightarrow$hàm số $f\left(t\right)$ luôn đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$.

Suy ra

Do $y>0$ nên $\frac{x+1}{x-2}>0\iff [\begin{array}{l}x>2\\ x<-1\end{array}$ . Mà $x>0$ nên $x>2$.

Từ đó $T=x+y=x+\frac{x+1}{x-2}$. Xét hàm số $g\left(x\right)=x+\frac{x+1}{x-2}$ trên $\left(2;+\infty \right)$.

Đạo hàm

Lập bảng biến thiên của hàm số trên $\left(2;+\infty \right)$, ta thấy $\min g\left(x\right)=g(2+\sqrt{3})=3+2\sqrt{3}$.

Vậy $T_{min}=3+2\sqrt{3}$ khi $x=2+\sqrt{3}$ và $x=1+\sqrt{3}$.