tìm m để phương trình 2^cos^2x+3^sin^2x lớn hơn hoặc bằng m

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

$$\begin{gathered} Đặt {\sin }^{2}x=t (t\in \left[0;1\right]) \\ BPT\iff 2^{1-t}+3^t\ge m.3^{1-t} \\ \iff \frac{2^{1-t}+3^t}{3^{1-t}}\ge m \\ Đặt f\left(t\right)=\frac{2^{1-t}+3^t}{3^{1-t}}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{1-t}+3^{2t-1} \\ \Rightarrow f\text{'}\left(t\right)=-{\left(\frac{2}{3}\right)}^{1-t}\ln \frac{2}{3}+2.3^{2t-1}.\ln 3>0 với\forall t\in [0;1] \\ \Rightarrow Hàm f\left(t\right) luôn đồng biến trên [0;1] \\ Ta có f\left(0\right)=1 và f\left(1\right)=4 \\ Để BPT nghiệm đúng với\forall x\in \mathrm{ℝ} thì \underset{t\in [0;1]}{minf\left(t\right)}\ge m \\ \iff 1\ge m\iff m\le 1 \end{gathered}$$