Biết x,y thuộc R và 2^x+4^y=1 . tìm GTLN của T=2^x+y

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

$$\begin{gathered} 2^x+4^y=1 \iff 4^y=1-2^x \\ Đặt 2^x=t (t>0) \Rightarrow 4^y=1-t \\ ĐK: 1-t>0\iff t<1 \\ \Rightarrow T=t{(1-t)}^2=t(1-2t+t^2)=t^3-2t^2+t với 0<t<1 \\ T\text{'}=3t^2-4t+1 \\ T\text{'}=0\iff 3t^2-4t+1=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}t=1 \left(L\right)\\ t=\frac{1}{3}\left(TM\right)\end{array}\right. \\ f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{27}, f\left(0\right)=0, f\left(1\right)=0 \\ \Rightarrow \underset{t\in \left(0;1\right)}{maxT}=\frac{4}{27}\iff t=\frac{1}{3} \end{gathered}$$